Modèles et vecteurs

Cours 1 — Modèles en biologie

Christophe Ambroise

L3 GBI — Université d’Évry

Un problème concret

Génétique des populations

Novembre et al., Genes mirror geography within Europe, Nature, 2008.

3 000 individus européens

500 000 SNP par individu

Tableau : 3 000 × 500 000.

À l’échelle Écrit petit : 1 m de haut, 166 m de large.

Un SNP

Position du génome variable entre individus.

Deux allèles : C ou T.

Codage : nombre d’allèles T.

Mère \ Père	C	T
C	0	1
T	1	2

Le tableau

	SNP 1	SNP 2	SNP 3	SNP 4	\(\cdots\)	SNP 500 000
Individu 1	0	2	1	0	\(\cdots\)	1
Individu 2	1	2	0	2	\(\cdots\)	0
Individu 3	0	1	1	0	\(\cdots\)	2
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)		\(\vdots\)
Individu 3 000	2	0	1	1	\(\cdots\)	1

Des nombres. Rien d’autre.

Un individu, un point

Un individu \(=\) un point de \(\mathbb{R}^{500\,000}\).

Indessinable.

Question Comment résumer ce tableau ?

Résumé en deux dimensions

500 000 colonnes → 2. Novembre et al., 2008.

Une carte tirée de l’ADN

Données : ADN seulement, aucune information géographique.

Objectif Comprendre comment générer et interpréter cette figure d’analyse en composantes principales (séance 16).

Des modèles, un outil

Un modèle en biologie

Modèle : représentation mathématique simplifiée d’un phénomène biologique.

Exemples : canal ionique, métabolisme des mammifères, séquences d’ADN, crabes.

Idée du semestre Questions différentes, même outil : l’algèbre linéaire.

Quatre outils, tout le semestre

Pivot de Gauss : résoudre un système (réaction, état stationnaire). Séances 2, 3, 4, 6, 16

Vecteur propre : état reproduit par le modèle (Markov, population, ACP). Séances 4, 5, 16

Produit scalaire, projection : mesurer, comparer (distance, angle, corrélation). Séances 6 à 11, 14, 16

Variance, information : résumer (inertie, entropie, part d’information). Séances 8, 10, 12, 14, 16

Des vecteurs

Vecteur de \(\mathbb{R}^n\)

Une liste ordonnée de \(n\) nombres réels.

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n), \quad x_i \in \mathbb{R} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \]

Trois lectures d’un vecteur

Profil : masse et métabolisme d’un animal ; expression d’un gène dans \(n\) échantillons.

État : canal ionique fermé ou ouvert ; cellules quiescentes ou en division.

Loi : fréquences de A, C, G, T à une position de l’ADN.

Même objet Trois lectures, mêmes opérations.

Addition

Coordonnée par coordonnée.

Multiplication par un scalaire

Étirement, compression, retournement. Direction conservée.

Combinaison linéaire

Somme de vecteurs multipliés par des réels.

\[ \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2 + \dots + \alpha_p \mathbf{v}_p, \quad \alpha_1, \dots, \alpha_p \in \mathbb{R} \]

\(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) quelconques : tout le plan.

Combinaison linéaire, opération commune

Opération centrale Système, pas de temps, centre d’un groupe, axe d’ACP : des combinaisons linéaires.

Centre de gravité : \(\frac{1}{n}\mathbf{x}_1 + \frac{1}{n}\mathbf{x}_2 + \dots + \frac{1}{n}\mathbf{x}_n\).

ACP : 2 axes, combinaisons des 500 000 colonnes.

Organisation

Le semestre

Séances	Contenu
1 – 3	Résoudre : systèmes linéaires, pivot de Gauss
4 – 5	Faire évoluer un état : chaînes de Markov
6 – 9	Mesurer : géométrie de \(\mathbb{R}^p\), distances, similarités
10 – 11	Regrouper : clustering
12 – 13	Quantifier : information, entropie
14 – 15	Résumer : variance, covariance, corrélation
16	Résumer : analyse en composantes principales
17 – 18	Analyse de données

Annexe du livret de TD : résumé des notions d’algèbre linéaire.

Deux livres de référence

Algèbre linéaire — David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 5ᵉ édition, Pearson, 2016.

Ch. 1, 2, 5, 6, 7 : systèmes, matrices, valeurs propres, moindres carrés, ACP.

Modèles — Scott E. Page, The Model Thinker: What You Need to Know to Make Data Work for You, Basic Books, 2018.

Ch. 12, 16, 17 : entropie, fonctions de Lyapunov, chaînes de Markov.