Vecteurs propres et valeurs propres

les directions que la matrice ne fait pas tourner : elle se contente de les étirer

1 · DÉFINITION

$$Au=\lambda u,\ u\neq0 \iff \det(A-\lambda I)=0 \iff \lambda^2-\operatorname{tr}(A)\,\lambda+\det(A)=0, \qquad A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$$

$$\text{critère : }\ \det(u,Au)=0\iff Au\ \text{colinéaire à}\ u, \qquad \text{et alors}\ \ \lambda=\langle u,Au\rangle\ \text{ si }\|u\|=1$$

2 · À TOI : FAIS TOURNER u

le plan : $u$ sur le cercle unité (glisse), son image $Au$

en fonction de l'angle $\theta$ de $u$ : $\det(u,Au)$ et $\langle u,Au\rangle$

$a$ $b$ $c$ $d$

Glisse n'importe où dans le plan : $u$ suit la direction du pointeur. Flèches ← → : 1° (Maj : 5°). Le critère est périodique de période 180° : $-u$ a la même direction que $u$.

3 · RAPPELS

$\lambda_1+\lambda_2=\operatorname{tr}A$ et $\lambda_1\lambda_2=\det A$. Pour $\lambda$ donnée, un vecteur propre est $(b,\ \lambda-a)^\top$ si $b\neq0$, ou $(\lambda-d,\ c)^\top$ si $c\neq0$.
Deux valeurs propres distinctes donnent deux directions indépendantes : $A=PDP^{-1}$, et dans cette base $A$ n'est qu'un étirement de facteur $\lambda_1$ sur un axe, $\lambda_2$ sur l'autre. Les axes ne sont pas forcément orthogonaux.
Si $\lambda<0$, $Au$ est colinéaire à $u$ mais de sens opposé : la direction est conservée, le sens est retourné.
$A$ symétrique : valeurs propres réelles, vecteurs propres orthogonaux, et $\lambda_{\max},\lambda_{\min}$ sont le maximum et le minimum de $\langle u,Au\rangle$ sur le cercle (quotient de Rayleigh, ACP, forme quadratique).
$A^k=PD^kP^{-1}$ : en itérant $A$, la direction de plus grande $|\lambda|$ attire presque tous les vecteurs (méthode de la puissance).

4 · CLASSIFICATION PAR LE DISCRIMINANT

$\Delta=(\operatorname{tr}A)^2-4\det A$	valeurs propres	ce que l'on voit
$\Delta\gt0$	deux réelles distinctes	la courbe $\det(u,Au)$ coupe 0 deux fois sur 180°
$\Delta=0$	une double	la courbe touche 0 sans changer de signe (une seule direction, sauf $A=\lambda I$)
$\Delta\lt0$	complexes conjuguées	la courbe ne s'annule jamais : $Au$ tourne toujours dans le même sens

\(\Delta=(\operatorname{tr}A)^2-4\det A\)	valeurs propres	ce que l'on voit
\(\Delta\gt0\)	deux réelles distinctes	la courbe \(\det(u,Au)\) coupe 0 deux fois sur 180°
\(\Delta=0\)	une double	la courbe touche 0 sans changer de signe (une seule direction, sauf \(A=\lambda I\))
\(\Delta\lt0\)	complexes conjuguées	la courbe ne s'annule jamais : \(Au\) tourne toujours dans le même sens