Le paradoxe de Simpson
une tendance vraie dans chaque groupe peut s'inverser quand on regroupe
1 · MODÈLE
$$X = 2s\,Z+\varepsilon_X,\qquad Y=\beta X-5s\,Z+\varepsilon_Y,\qquad \beta>0$$
$$\hat b_{\text{global}}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\beta-\frac{10\,s^2\operatorname{Var}Z}{4s^2\operatorname{Var}Z+\sigma_X^2}$$
\(Z\) (le groupe) est une cause commune de \(X\) et de \(Y\) : un facteur de confusion de force \(s\).
2 · À TOI : FAIS GLISSER LA FORCE DE LA CONFUSION
nuage \((X, Y)\) : droites par groupe et droite globale
critère : pente globale en fonction de \(s\) — glisse pour changer \(s\)
Masque les groupes : on ne voit plus que la tendance globale, celle qu'un observateur sans \(Z\) mesurerait. Le seuil \(s_0\) est la force de confusion à partir de laquelle la pente globale devient négative.
3 · RAPPELS
- Décomposition : la pente globale mélange la variation intra-groupe et la variation entre groupes : $$\hat b_{\text{global}}=\frac{S^{W}_{xy}+S^{B}_{xy}}{S^{W}_{xx}+S^{B}_{xx}}.$$ Quand les centres des groupes s'alignent selon une pente négative, le terme inter-groupes peut l'emporter.
- Biais de variable omise : si \(Y=\beta X+\gamma Z+\varepsilon\), la régression de \(Y\) sur \(X\) seul estime \(\beta+\gamma\,\operatorname{Cov}(X,Z)/\operatorname{Var}(X)\). Ici \(\gamma=-5s\) et \(\operatorname{Cov}(X,Z)=2s\operatorname{Var}Z\).
- Ajuster sur \(Z\) (régresser \(Y\) sur \(X\) et le groupe) rétablit \(\beta\), parce que \(Z\) est une cause commune. Ajuster sur un collisionneur créerait au contraire un biais : le choix de l'ajustement vient du graphe causal, pas des données.
- Version en tableaux : un traitement meilleur dans chaque sous-groupe peut sembler pire au total si les sous-groupes n'ont pas les mêmes effectifs (calculs rénaux, Charig et al. 1986 ; admissions à Berkeley, 1973).