L'inégalité de Markov

une variable positive ne peut pas être souvent grande si sa moyenne est petite

1 · ÉNONCÉ

$$X\ge0,\ a>0 \;\Longrightarrow\; \mathbb{P}(X\ge a)\;\le\;\frac{\mathbb{E}[X]}{a}$$

$$\text{preuve : }\ \mathbf{1}\{x\ge a\}\;\le\;\frac{x}{a}\ \text{ pour tout } x\ge0, \ \text{ puis on prend l'espérance des deux côtés}$$

2 · À TOI : DÉPLACE LE SEUIL a

loi de $X$ — la queue $\mathbb{P}(X\ge a)$ en orange ; en bleu la droite $x/a$, en vert l'indicatrice $\mathbf 1\{x\ge a\}$

critère : vraie queue $\mathbb{P}(X\ge a)$ et borne de Markov $\mathbb{E}X/a$ en fonction de $a$

seuil $a$ moyenne $\mathbb{E}X$

Glisse dans l'un ou l'autre panneau pour déplacer $a$. Zone grise : $a\le\mathbb{E}X$, la borne dépasse 1 et ne dit rien. La loi « deux points » suit $a$ : $X\in\{0,a\}$ avec $\mathbb{P}(X=a)=\mathbb{E}X/a$, et la borne est atteinte.

3 · RAPPELS

Seule l'hypothèse $X\ge0$ compte : la borne ne dépend que de la moyenne, pas de la forme de la loi. C'est sa force et sa faiblesse.
Elle est optimale : la loi à deux points $\{0,a\}$ l'atteint. On ne peut pas l'améliorer avec la seule information $\mathbb{E}X$.
Décroissance en $1/a$ seulement, alors que les queues usuelles décroissent bien plus vite (exponentiellement pour l'exponentielle).
Appliquée à $(X-\mu)^2$ : Bienaymé-Tchebychev, $\mathbb{P}(|X-\mu|\ge t)\le\sigma^2/t^2$. Appliquée à $e^{\lambda X}$ : borne de Chernoff, $\mathbb{P}(X\ge a)\le e^{-\lambda a}\,\mathbb{E}e^{\lambda X}$.
Forme intégrale : la formule de la couche $\mathbb{E}X=\int_0^\infty\mathbb{P}(X\ge t)\,dt$ est valable pour toute variable aléatoire $X\ge0$ (Fubini-Tonelli, sans hypothèse d'intégrabilité). Comme $t\mapsto\mathbb{P}(X\ge t)$ décroît, l'aire sous la queue contient le rectangle de hauteur $\mathbb{P}(X\ge a)$ et de largeur $a$ : $\mathbb{E}X\ge a\,\mathbb{P}(X\ge a)$ (bouton « Rectangle »).