Une matrice 2×2 déforme le plan
les colonnes disent où vont les vecteurs de base ; les vecteurs propres disent quelles droites ne bougent pas
1 · DÉFINITION
$$A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=\big(Ae_1\ \ Ae_2\big),\qquad
A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=x\,Ae_1+y\,Ae_2,\qquad Av=\lambda v$$
$$\text{animation : }\ A_t=(1-t)\,I+t\,A,\quad t\in[0,1],\qquad
\text{aire de l'image du carré unité}=|\det A_t|$$
2 · À TOI : DÉFORME LA GRILLE
la grille et son image par \(A_t\) : glisse les pointes de \(Ae_1\) (bleu) et \(Ae_2\) (orange)
valeurs propres de \(A_t\) dans le plan complexe, de \(t=0\) (\(\lambda=1\)) à \(t=1\)
La grille grise est la grille de départ, la grille bleue son image. Le carré unité devient le parallélogramme coloré. Glisser une pointe place le curseur à \(t=1\). Lecture : \(t\) va de 0 à 1, de l'identité à \(A\).
3 · RAPPELS
- Une application linéaire est entièrement fixée par l'image des deux vecteurs de base : ce sont les colonnes de \(A\). Les droites restent des droites, parallèles entre elles, régulièrement espacées, et l'origine ne bouge pas.
- \(\det A\) est le facteur d'aire (avec un signe) : \(|\det A|\) multiplie les aires, \(\det A\lt0\) retourne l'orientation (\(Ae_1\) et \(Ae_2\) échangent leur ordre), \(\det A=0\) écrase le plan sur une droite (ou un point).
- Un vecteur propre garde sa direction : la droite qu'il engendre est envoyée sur elle-même, étirée du facteur \(\lambda\) (et retournée si \(\lambda\lt0\)). \(\lambda_1\lambda_2=\det A\), \(\lambda_1+\lambda_2=\operatorname{tr}A\).
- Pendant l'animation, \(A_t=(1-t)I+tA\) a les mêmes vecteurs propres que \(A\) et pour valeurs propres \(1-t+t\lambda\) : les directions propres restent immobiles et les \(\lambda\) vont en ligne droite de 1 à leur valeur finale.
- Valeurs propres complexes \(\rho e^{\pm i\varphi}\) : aucune droite réelle n'est conservée, \(A\) tourne d'un angle \(\varphi\) (dans une base adaptée) et dilate de \(\rho=\sqrt{\det A}\). Une rotation pure a \(|\lambda|=1\).
4 · CLASSIFICATION
| cas | valeurs propres | ce que fait la grille |
|---|---|---|
| \(\Delta\gt0\), \(\det\gt0\) | réelles, même signe | deux directions étirées, orientation conservée |
| \(\det\lt0\) | réelles, signes opposés | une direction retournée : le plan est « retourné » |
| \(\Delta=0\) | double | cisaillement (une seule direction) ou homothétie \(\lambda I\) |
| \(\Delta\lt0\) | complexes conjuguées | rotation combinée à une dilatation, aucune droite conservée |
| \(\det=0\) | \(\lambda=0\) et \(\operatorname{tr}A\) | le plan s'écrase sur une droite : \(A\) n'est pas inversible |
\(\Delta=(\operatorname{tr}A)^2-4\det A\).