La forme quadratique \(\mathbf{x}^\top A\,\mathbf{x}\)
une matrice symétrique, une courbe de niveau, trois géométries
1 · DÉFINITION
$$Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^\top A\,\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,x_ix_j
=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2,\qquad A=A^\top$$
2 · À TOI : DÉFORME A, TROIS FAÇONS
courbe \(\{\mathbf{x} : \mathbf{x}^\top A\mathbf{x}=1\}\) — tire les poignées des axes
plan des valeurs propres \((\lambda_1,\lambda_2)\) — déplace le point
Poignée pleine : demi-axe \(1/\sqrt{\lambda_i}\) (λ > 0). Poignée creuse : direction où \(Q<0\), à distance \(1/\sqrt{|\lambda_i|}\). Courbes fines : autres niveaux de \(Q\) (bleu > 0, rouge < 0).
3 · LECTURE SPECTRALE
$$A=P\Lambda P^\top,\quad \mathbf{y}=P^\top\mathbf{x}\;\Longrightarrow\;\mathbf{x}^\top A\,\mathbf{x}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2$$
- Les vecteurs propres donnent les axes, les valeurs propres l'étirement : demi-axe \(1/\sqrt{\lambda_i}\). Le couplage \(a_{12}\neq0\) fait seulement tourner la figure.
- \(\det A=\lambda_1\lambda_2=a_{11}a_{22}-a_{12}^2\) et \(\operatorname{tr}A=\lambda_1+\lambda_2=a_{11}+a_{22}\) : le signe du déterminant décide entre ellipse et hyperbole.
- Critère de Sylvester : \(A\) est définie positive \(\iff a_{11}>0\) et \(\det A>0\).
4 · CLASSIFICATION (n = 2)
| \(\lambda_1,\lambda_2>0\) | définie positive | ellipse (\(a_{12}^2\lt a_{11}a_{22}\), \(a_{11}>0\)) |
| \(\lambda_1\lambda_2=0\) | semi-définie | deux droites parallèles, ou vide |
| \(\lambda_1\lambda_2<0\) | indéfinie | hyperbole (\(a_{12}^2\gt a_{11}a_{22}\)) |
| \(\lambda_1,\lambda_2<0\) | définie négative | vide : \(Q<0\) partout sauf en 0 |