La formule d'Euler
tourner d'un angle θ, c'est multiplier par \(e^{i\theta}\)
1 · FORMULE
$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\,\sin\theta,\qquad
e^{i\theta}=\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{i\theta}{n}\Big)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^k}{k!}$$
2 · À TOI : FAIS TOURNER LE POINT, PUIS CONSTRUIS-LE
plan complexe — glisse pour choisir θ
\(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) déroulés — glisse aussi ici
Chemin gris : la construction approchée, pas à pas. Pour \((1+i\theta/n)^n\), chaque pas multiplie par \(1+i\theta/n\) : une petite rotation d'angle ≈ θ/n et un léger allongement. Pour la série, chaque terme tourne de 90° par rapport au précédent.
3 · RAPPELS
- Mouvement : \(z(\theta)=e^{i\theta}\) vérifie \(z'=iz\). La vitesse est le rayon tourné de 90°, de longueur 1 : le point parcourt le cercle unité à vitesse 1, donc \(\theta\) est la longueur d'arc (le radian).
- Série : les puissances de \(i\) bouclent \(1, i, -1, -i\). Les termes pairs donnent \(\cos\theta=\sum(-1)^k\theta^{2k}/(2k)!\), les impairs \(\sin\theta\).
- Limite : \(\big|1+\tfrac{i\theta}{n}\big|^n=\big(1+\tfrac{\theta^2}{n^2}\big)^{n/2}\to1\) : les \(n\) petits allongements disparaissent, il ne reste que la rotation.
- Cas particulier : \(e^{i\pi}+1=0\). Et \(\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\), \((e^{i\theta})^n=e^{in\theta}\) (Moivre).
- En probabilités : la fonction caractéristique \(\varphi_X(t)=\mathbb{E}\big[e^{itX}\big]\) est une moyenne de points du cercle unité, donc \(|\varphi_X(t)|\le1\).