La d-séparation
lire les indépendances conditionnelles directement sur le graphe
1 · DÉFINITION
$$X \perp_d Y \mid Z \iff \text{tout chemin entre } X \text{ et } Y \text{ est bloqué par } Z
\;\Longrightarrow\; X \perp\!\!\!\perp Y \mid Z$$
CHAÎNE\(A\to B\to C\)
bloquée si \(B\in Z\)
bloquée si \(B\in Z\)
FOURCHE\(A\leftarrow B\to C\)
bloquée si \(B\in Z\)
bloquée si \(B\in Z\)
COLLISIONNEUR\(A\to B\leftarrow C\)
bloqué sauf si \(B\) ou un descendant \(\in Z\)
bloqué sauf si \(B\) ou un descendant \(\in Z\)
2 · À TOI : CHOISIS X, Y ET CONDITIONNE
graphe orienté acyclique — clique sur les nœuds
critère : chaque chemin entre X et Y, ouvert ou bloqué
Nœuds grisés : conditionnés. Arêtes vertes : sur un chemin ouvert. Arêtes rouges pointillées : sur un chemin bloqué seulement. Survole ou clique un chemin pour le voir dans le graphe, avec le nœud qui le bloque (✕).
3 · RAPPELS
- Un chemin est une suite d'arêtes sans se soucier de leur sens ; ce sont les triplets consécutifs qui décident s'il transmet la dépendance.
- Conditionner sur un collisionneur, ou sur l'un de ses descendants, ouvre un chemin : c'est le biais de sélection (paradoxe de Berkson, M-biais).
- Théorème (Verma et Pearl) : si \(X\perp_d Y\mid Z\) dans le graphe, alors \(X\perp\!\!\!\perp Y\mid Z\) pour toute loi qui se factorise selon lui. La réciproque vaut pour presque toutes ces lois (fidélité) : c'est ce que vérifie la corrélation partielle calculée ici.
- Critère de la porte dérobée : \(Z\) permet d'estimer l'effet de \(X\) sur \(Y\) s'il bloque tous les chemins qui entrent dans \(X\) par une flèche et ne contient aucun descendant de \(X\).
- La d-séparation se teste en temps linéaire (algorithme de la « balle de Bayes ») ; énumérer les chemins, comme ici, sert à comprendre.