L'ACP sur un axe

à toi de tourner la droite pour capter le plus de variance

1 · CRITÈRE

$$\max_{\|\mathbf{u}\|=1}\;\sigma^2(\mathbf{u})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\mathbf{u}^\top\mathbf{x}_i\right)^2=\mathbf{u}^\top S\,\mathbf{u}$$

variance des projections des points (centrés) sur la droite dirigée par $\mathbf{u}$

nuage et projections — glisse dans le nuage

critère $\sigma^2(\mathbf{u}_\theta)$ — ou glisse sur la courbe

Révéler toute la courbe Écarts $d_i$

Souris, doigt ou flèches ← → du clavier (Maj : pas de 5°). La courbe se dessine là où tu l'as explorée.

Données centrées : $S=\frac{1}{n}X^\top X$ est la matrice de covariance empirique.
Solution : $S\,\mathbf{u}_1=\lambda_1\mathbf{u}_1$, avec $\lambda_1$ la plus grande valeur propre, et $\sigma^2(\mathbf{u}_1)=\lambda_1$.
Pythagore : $\overline{\|\mathbf{x}\|^2}=\sigma^2(\mathbf{u})+\overline{d^{\,2}}$ (moyennes sur les points) : maximiser la variance projetée revient à minimiser l'erreur de reconstruction.
Composante principale : $c_i=\mathbf{u}_1^\top\mathbf{x}_i$ ; l'axe suivant est cherché orthogonal à $\mathbf{u}_1$.
Part d'inertie expliquée : $\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$ = % pour ce nuage.