Déterminant, valeurs propres, diagonalisation
Cours 8 — Algèbre linéaire et analyse de données
L3 GBI — Université d’Évry
Déterminant
Une question restée ouverte
\(A\) carrée : inversible ou non ?
Le pivot de Gauss répond, après calcul complet.
Objectif Un nombre unique, calculé à partir de \(A\), dont l’annulation caractérise la non-inversibilité.
Ordre 2
\[\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\]
Le nombre déjà rencontré au cours 3, dans la formule de l’inverse.
Aire du parallélogramme
Figure 1
\(|\det A|\) : l’aire du parallélogramme construit sur les colonnes.
Le signe
\(\det A > 0\) : les colonnes conservent l’orientation du plan.
\(\det A < 0\) : orientation inversée.
\(\det A = 0\) : le parallélogramme est aplati. Colonnes colinéaires.
Ordre 3
Développement selon la première ligne :
\[\det A = a_{11}\det A_{11} - a_{12}\det A_{12} + a_{13}\det A_{13}\]
\(A_{ij}\) : la matrice \(2 \times 2\) obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\).
En dimension 3, \(|\det A|\) est un volume.
Un calcul
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[\det A = 1(1 - 0) - 2(3 - 2) + 0 = 1 - 2 = -1\]
Alternance des signes
\[ \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix} \]
Le développement peut se faire selon n’importe quelle ligne ou colonne.
Choisir celle qui contient le plus de zéros.
Matrice triangulaire
\[ \det \begin{pmatrix} a_{11} & * & * \\ 0 & a_{22} & * \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} \]
Le produit des termes diagonaux.
Une forme échelonnée est triangulaire : son déterminant se lit.
Propriétés
\[\det(AB) = \det A \cdot \det B, \qquad \det(A^{\intercal}) = \det A\] \[\det(\lambda A) = \lambda^n \det A, \qquad \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}\]
Aucune formule pour \(\det(A + B)\).
Effet des opérations élémentaires
| Opération | Effet sur \(\det\) |
|---|---|
| \(L_i \leftrightarrow L_j\) | changement de signe |
| \(L_i \leftarrow \lambda L_i\) | multiplication par \(\lambda\) |
| \(L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\) | inchangé |
D’où une méthode de calcul : échelonner, puis multiplier les pivots.
Calcul par échelonnement
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \xrightarrow{\ L_2 - 3L_1, \ L_3 - 2L_1\ } \ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & -4 & 1 \end{pmatrix} \]
\(L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{4}{5}L_2\) : dernier pivot \(\tfrac{1}{5}\).
\[\det A = 1 \times (-5) \times \tfrac{1}{5} = -1\]
Les transvections ne changent rien. Seul le produit des pivots compte.
Critère d’inversibilité
Théorème \[A \ \text{inversible} \iff \det A \neq 0\]
\[\det A \neq 0 \iff \operatorname{rg}(A) = n \iff \operatorname{Ker}(A) = \{\mathbf{0}\}\]
Le dernier ajout à la liste du cours 5.
Un usage, pas un chapitre
Ordre \(n\) : \(n!\) termes. Impraticable au-delà de \(3\) ou \(4\).
Position dans ce cours Le déterminant sert ici à une seule chose : écrire l’équation qui donne les valeurs propres.
Valeurs propres
Directions préservées
\(A\) transforme les vecteurs. Certaines directions résistent.
\[A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}\]
\(\lambda\) : valeur propre. \(\mathbf{v}\) : vecteur propre associé.
Directions invariantes
Figure 2
La direction est conservée, la longueur non.
La condition d’existence
\[A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff (A - \lambda I_n)\mathbf{v} = \mathbf{0}\]
Un \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) existe \(\iff\) \(A - \lambda I_n\) n’est pas inversible.
Équation caractéristique \[\det(A - \lambda I_n) = 0\]
Polynôme caractéristique
\(\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)\) : un polynôme de degré \(n\).
Ses racines : les valeurs propres de \(A\).
\[\operatorname{Sp}(A) = \{\, \lambda \in \mathbb{R} \mid \chi_A(\lambda) = 0 \,\}\]
Un exemple
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
\[\chi_A(\lambda) = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 2)(\lambda - 4)\]
\[\operatorname{Sp}(A) = \{2,\ 4\}\]
Espace propre
\[E_{\lambda} = \operatorname{Ker}(A - \lambda I_n)\]
Un sous-espace vectoriel, de dimension au moins \(1\).
Le calcul : un système homogène. Le pivot de Gauss, encore.
Les vecteurs propres de l’exemple
\(\lambda = 4\) : \((A - 4I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\) donne \(-v_1 + v_2 = 0\).
\[E_4 = \operatorname{Vect}\!\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)\]
\(\lambda = 2\) : \(v_1 + v_2 = 0\).
\[E_2 = \operatorname{Vect}\!\left( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)\]
Deux raccourcis
\[\sum_{i} \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod_{i} \lambda_i = \det A\]
\(\operatorname{tr}(A)\) : la somme des termes diagonaux.
Sur l’exemple : \(2 + 4 = 6\) et \(2 \times 4 = 8\).
Deux multiplicités
Algébrique \(m_{\lambda}\) — l’ordre de \(\lambda\) comme racine de \(\chi_A\).
Géométrique — \(\dim E_{\lambda}\).
\[1 \leqslant \dim E_{\lambda} \leqslant m_{\lambda}\]
L’écart entre les deux décide de la diagonalisabilité.
Indépendance
Théorème Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
\(n\) valeurs propres distinctes : une base de vecteurs propres.
Diagonalisation
L’objectif
Une matrice diagonale se manipule sans effort.
\[D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}, \qquad D^k = \begin{pmatrix} \lambda_1^k & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n^k \end{pmatrix}\]
Ramener \(A\) à cette forme.
Définition
\(A\) est diagonalisable s’il existe \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que :
\[A = PDP^{-1}\]
Colonnes de \(P\) : des vecteurs propres. Termes de \(D\) : les valeurs propres associées.
L’ordre doit correspondre.
Critère de diagonalisabilité
Théorème \(A\) est diagonalisable \(\iff\) il existe une base de vecteurs propres de \(\mathbb{R}^n\).
\[\sum_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} \dim E_{\lambda} = n\]
Matrices semblables
\(A\) et \(B\) sont semblables s’il existe \(P\) inversible telle que \(B = P^{-1}AP\).
\[\chi_A = \chi_B, \qquad \operatorname{Sp}(A) = \operatorname{Sp}(B), \qquad \operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(B), \qquad \det A = \det B\]
Diagonaliser : trouver une matrice diagonale semblable à \(A\).
Mode d’emploi
- Calculer \(\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)\).
- En chercher les racines : les valeurs propres.
- Pour chaque \(\lambda\), résoudre \((A - \lambda I_n)\mathbf{v} = \mathbf{0}\).
- Réunir les bases obtenues. \(n\) vecteurs : \(A\) est diagonalisable.
L’exemple, diagonalisé
\[ P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \]
\[A = PDP^{-1}, \qquad P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]
Lecture comme changement de base
Le fil du cours 6 \(P\) est une matrice de passage. \(D\) est l’écriture de \(A\) dans la base des vecteurs propres.
\[\mathbf{y} = A\mathbf{x} \quad \Longleftrightarrow \quad [\mathbf{y}]_{\mathcal{B}} = D\,[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}\]
Dans la bonne base, \(A\) ne fait que dilater chaque axe.
Les trois étapes
\(P^{-1}\) décode, \(D\) dilate, \(P\) recode.
\[A\mathbf{x} = P\,D\,P^{-1}\mathbf{x}\]
Toute la difficulté de \(A\) est reportée sur le choix de la base.
Vérification sans inverse
\(A = PDP^{-1}\) équivaut à \(AP = PD\).
\[AP = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = PD\]
Aucun inverse à calculer pour vérifier.
Puissances
\[A^k = P D^k P^{-1}\]
Les termes intermédiaires \(P^{-1}P\) se simplifient.
Un calcul de \(n\) puissances de scalaires, au lieu de \(k\) produits matriciels.
Quand cela échoue
\[ N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \chi_N(\lambda) = \lambda^2 \]
\(\lambda = 0\) est racine double, mais \(\dim E_0 = 1\).
Non diagonalisable Pas assez de vecteurs propres pour former une base.
Racines complexes
\[ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \chi_R(\lambda) = \lambda^2 + 1 \]
Aucune racine réelle : une rotation ne préserve aucune direction.
Ce qui suit Les matrices du cours 9 sont symétriques. Ces deux échecs n’y surviennent jamais.
Dynamique de deux populations
\(\mathbf{x}_k\) : les effectifs à la génération \(k\).
\[\mathbf{x}_{k+1} = A\,\mathbf{x}_k \ \Longrightarrow \ \mathbf{x}_k = A^k \mathbf{x}_0 = P D^k P^{-1} \mathbf{x}_0\]
Avec \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\) : \(\lambda_1 = 4\), \(\lambda_2 = 2\).
Comportement à long terme
\(\mathbf{x}_0 = \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2\) dans la base propre :
\[\mathbf{x}_k = \alpha_1\, 4^k\, \mathbf{v}_1 + \alpha_2\, 2^k\, \mathbf{v}_2\]
Valeur propre dominante \(4^k\) écrase \(2^k\). La population s’aligne sur \(\mathbf{v}_1 = (1,1)\) et croît d’un facteur \(4\) par génération.
Une direction privilégiée, imposée par les données.
Récapitulatif
| Étape | Calcul |
|---|---|
| Valeurs propres | racines de \(\det(A - \lambda I_n) = 0\) |
| Espaces propres | \(E_{\lambda} = \operatorname{Ker}(A - \lambda I_n)\), par le pivot |
| Diagonalisable ? | \(\sum_{\lambda} \dim E_{\lambda} = n\) |
| \(P\) | vecteurs propres en colonnes |
| \(D\) | valeurs propres, dans le même ordre |
| Vérification | \(AP = PD\) |