Calcul matriciel et matrice inverse
Cours 3 — Algèbre linéaire et analyse de données
L3 GBI — Université d’Évry
L’objet matrice
Objet mathématique
Un système : un tableau de coefficients, un second membre.
Jusqu’ici, un support de calcul.
Changement de statut Ce tableau devient un objet mathématique, avec ses propres opérations.
Matrice
Un tableau rectangulaire de réels, à \(m\) lignes et \(n\) colonnes.
\[A = (a_{ij})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant j \leqslant n}} \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\]
\(a_{ij}\) : ligne \(i\), colonne \(j\). Toujours dans cet ordre.
Vocabulaire
Carrée — \(m = n\).
Vecteur colonne — \(n = 1\). Vecteur ligne — \(m = 1\).
Diagonale — carrée, \(a_{ij} = 0\) dès que \(i \neq j\).
Identité \(I_n\) — diagonale, tous les termes diagonaux à \(1\).
\[(I_n)_{ij} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}\]
Somme et multiple
Coordonnée par coordonnée, comme pour les vecteurs.
\[(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \qquad (\lambda A)_{ij} = \lambda\, a_{ij}\]
Somme définie seulement entre matrices de mêmes dimensions.
Le produit
Produit matrice par vecteur
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0{,}5 & 1{,}6 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \]
\[ A\mathbf{x} = x_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1{,}6 \end{pmatrix} \]
Combinaison des colonnes
Combinaison des colonnes \(A\mathbf{x}\) : la combinaison linéaire des colonnes de \(A\), pondérée par les coefficients de \(\mathbf{x}\).
\[A\mathbf{x} = \sum_{j=1}^{n} x_j \, \mathbf{a}_j, \qquad \mathbf{a}_j = j\text{-ième colonne de } A\]
Interprétation géométrique
Figure 1
Les colonnes de C1, revisitées. Ici \(\mathbf{x} = (1, 1)\).
Lecture par les lignes
Coefficient \(i\) de \(A\mathbf{x}\) : la ligne \(i\) de \(A\), « appliquée » à \(\mathbf{x}\).
\[(A\mathbf{x})_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\, x_j\]
Utile pour calculer. La lecture par colonnes, pour comprendre.
Produit de deux matrices
\(AB\) : chaque colonne de \(B\), transformée par \(A\).
\[AB = \bigl[\, A\mathbf{b}_1 \ \big| \ A\mathbf{b}_2 \ \big| \ \dots \ \big| \ A\mathbf{b}_p \,\bigr]\]
Une définition, \(p\) produits matrice-vecteur.
Formule du produit
\[(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}\]
Ligne \(i\) de \(A\), colonne \(j\) de \(B\).
Compatibilité des dimensions
\[ \underset{m \times n}{A} \ \cdot \ \underset{n \times p}{B} \ = \ \underset{m \times p}{AB} \]
Condition Le nombre de colonnes de \(A\) égale le nombre de lignes de \(B\).
Sinon : produit non défini.
Calcul de \(AB\)
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ AB = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \]
Permutation des facteurs
\[ BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \]
Non-commutativité \(AB \neq BA\) en général. Le produit matriciel n’est pas commutatif.
Produit nul et simplification
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Un produit nul, sans facteur nul.
Et \(AB = AC\) avec \(B \neq C\) : possible. Aucune simplification.
\[AB = 0 \ \not\Longrightarrow \ A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0, \qquad AB = AC \ \not\Longrightarrow \ B = C\]
Propriétés conservées
| Propriété | |
|---|---|
| Associativité | \(A(BC) = (AB)C\) |
| Distributivité | \(A(B+C) = AB + AC\) |
| Scalaires | \(\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)\) |
| Élément neutre | \(I_m A = A I_n = A\) |
Tout, sauf la commutativité et la simplification.
Trois écritures
Écriture développée
\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} \]
Équation vectorielle
\[ x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \dots + x_n \mathbf{a}_n = \mathbf{b} \]
Une combinaison linéaire des colonnes.
Équation matricielle
\[ A\mathbf{x} = \mathbf{b} \]
Le même problème Trois écritures, un seul objet. Le choix relève de la commodité.
Critère de compatibilité
Compatibilité \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) compatible \(\iff\) \(\mathbf{b}\) est combinaison linéaire des colonnes de \(A\).
\[\mathcal{S} \neq \emptyset \iff \mathbf{b} \in \bigl\{\, x_1\mathbf{a}_1 + \dots + x_n\mathbf{a}_n \;\bigm|\; \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \,\bigr\}\]
L’existence devient une question d’appartenance.
Le système homogène
\(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) : toujours compatible.
\(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) convient — la solution triviale.
La vraie question : en existe-t-il d’autres ?
\[\exists\, \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \ : \ A\mathbf{x} = \mathbf{0} \iff \text{au moins une variable libre}\]
Transposée
Transposition
\[(A^{\intercal})_{ij} = a_{ji}, \qquad A \in \mathcal{M}_{m,n} \ \Longrightarrow \ A^{\intercal} \in \mathcal{M}_{n,m}\]
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^{\intercal} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]
Règles de la transposition
\[(A^{\intercal})^{\intercal} = A, \qquad (A+B)^{\intercal} = A^{\intercal} + B^{\intercal}, \qquad (AB)^{\intercal} = B^{\intercal}A^{\intercal}\]
L’ordre s’inverse dans le produit. Une source d’erreurs constante.
Matrice symétrique
\(A^{\intercal} = A\). Nécessairement carrée.
À retenir pour plus tard Les matrices de covariance et de corrélation sont symétriques. Tout le cours 9 repose sur cette propriété.
Matrice inverse
Matrice inversible
\(A\) carrée est inversible s’il existe \(B\) carrée telle que :
\[AB = BA = I_n\]
\(B\) est alors unique, notée \(A^{-1}\).
Cas \(2 \times 2\)
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
Critère \(A\) inversible \(\iff ad - bc \neq 0\), et alors \[A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\]
Le nombre \(ad - bc\) : le déterminant. Cours 8.
Exemple numérique
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad ad - bc = -2 \]
\[ A^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix} \]
Matrice non inversible
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \qquad ad - bc = 0 \]
Deuxième colonne : le double de la première.
Les colonnes ne « remplissent » pas le plan.
Règles de l’inversion
\[(A^{-1})^{-1} = A, \qquad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^{\intercal})^{-1} = (A^{-1})^{\intercal}\]
Là encore, l’ordre s’inverse dans le produit.
Résolution par l’inverse
\(A\) inversible : solution unique.
\[A\mathbf{x} = \mathbf{b} \iff \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}\]
Élégant sur le papier.
Jamais en pratique Calculer \(A^{-1}\) puis multiplier coûte trois fois plus cher qu’un pivot de Gauss, et amplifie les erreurs d’arrondi.
L’inverse est un outil de raisonnement, pas de calcul.
Matrices élémentaires
Opération élémentaire et matrice
Chaque opération élémentaire sur les lignes de \(A\) :
une multiplication à gauche par une matrice \(E\).
\[A \ \xrightarrow{\ L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\ } \ EA\]
Construction de \(E\)
La même opération, appliquée à l’identité.
\[ L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1 \quad\Longrightarrow\quad E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \]
Inverse d’une élémentaire
Chaque opération élémentaire est réversible.
\[E^{-1} \ \text{existe, et correspond à l'opération inverse}\]
\[ E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad E^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \]
Critère d’inversibilité
Inversibilité \(A\) carrée est inversible \(\iff\) sa forme échelonnée réduite est \(I_n\).
\[A \sim I_n \ : \ E_k \cdots E_1 A = I_n \ \Longrightarrow \ A^{-1} = E_k \cdots E_1\]
L’inverse : le produit des opérations qui mènent à \(I_n\).
Algorithme de Gauss-Jordan
Le pivot de Gauss appliqué à \([\,A \mid I_n\,]\).
\[[\,A \mid I_n\,] \ \sim \ \dots \ \sim \ [\,I_n \mid A^{-1}\,]\]
Les opérations qui transforment \(A\) en \(I_n\) transforment \(I_n\) en \(A^{-1}\).
Exemple — départ
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
\[ \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]
Exemple — première élimination
\(L_2 \leftarrow L_2 - L_3\)
\[ \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]
Exemple — seconde élimination
\(L_1 \leftarrow L_1 - L_2\)
\[ \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]
Exemple — lecture
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Vérification par \(AA^{-1} = I_3\) : indispensable.
Échec de l’algorithme
Une ligne de zéros à gauche, avant d’atteindre \(I_n\).
Verdict immédiat Moins de \(n\) pivots : \(A\) n’est pas inversible. Aucun calcul supplémentaire.
Récapitulatif
Pour \(A\) carrée d’ordre \(n\), équivalences :
- \(A\) est inversible
- \(A \sim I_n\)
- \(A\) possède \(n\) pivots
- \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\) admet la seule solution \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)
- \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) admet une solution unique, pour tout \(\mathbf{b}\)
Cette liste s’allongera jusqu’au cours 8.