Pourquoi l’algèbre linéaire ?

Cours 1 — Algèbre linéaire et analyse de données

Christophe Ambroise

L3 GBI — Université d’Évry

Un problème concret

Génétique des populations

Novembre et al., Genes mirror geography within Europe, Nature, 2008.

3 000 individus européens

500 000 SNP par individu

Un tableau de 3 000 lignes et 500 000 colonnes.

À l’échelle En écrivant petit : 1 mètre de haut, 166 mètres de large.

Un SNP

Une position du génome, variable d’un individu à l’autre.

Deux allèles possibles : C ou T.

Nombre d’allèles T hérités :

Mère \ Père	C	T
C	0	1
T	1	2

Le tableau

	SNP 1	SNP 2	SNP 3	SNP 4	\(\cdots\)	SNP 500 000
Individu 1	0	2	1	0	\(\cdots\)	1
Individu 2	1	2	0	2	\(\cdots\)	0
Individu 3	0	1	1	0	\(\cdots\)	2
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)		\(\vdots\)
Individu 3 000	2	0	1	1	\(\cdots\)	1

Des nombres. Rien d’autre.

Autrement dit

Un individu \(=\) un point dans un espace à 500 000 dimensions.

Indessinable.

La question Comment résumer ce tableau sans le trahir ?

La réponse de l’article

500 000 colonnes résumées en 2. Novembre et al., 2008.

Ce que vous venez de voir

Aucune information géographique fournie à la méthode.

De l’ADN, uniquement.

Notre point d’arrivée Cette figure : une analyse en composantes principales. À votre portée en séance 18.

Trois problématiques

Résoudre — \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)

Les inconnues, puis toutes les solutions. Séances 2 à 9

Mesurer — comparer deux profils

Une distance, un angle, une corrélation. Séances 10 à 13

Synthétiser — extraire l’information

500 000 colonnes vers 2, sans perte de l’essentiel. Séances 14 à 18

Des vecteurs

L’objet de base

Un individu décrit par \(n\) mesures :

\[ \mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \]

Un gène aussi : ses niveaux d’expression dans \(n\) échantillons.

Le même objet Lignes et colonnes : les mêmes vecteurs, les mêmes outils.

Addition

Figure 1

Coordonnée par coordonnée.

Multiplication par un scalaire

Figure 2

Étirement, compression, retournement. Direction conservée.

Combinaison linéaire

\[ \alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2 + \dots + \alpha_p \mathbf{v}_p \]

\(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) quelconques : tout le plan.

Pourquoi c’est central

L’opération du semestre Résoudre, mesurer, synthétiser : les trois, ramenés à des combinaisons linéaires.

Une ACP : deux colonnes, combinaisons linéaires des 500 000 autres.

Organisation

Le semestre

Séances	Contenu
1 – 5	Systèmes linéaires, matrices
6 – 9	Espaces vectoriels, base, dimension, rang
10 – 13	Produit scalaire, orthogonalité, projection
14 – 16	Déterminant, valeurs propres, théorème spectral
17 – 18	ACP sur machine, en R

Évaluation

2 examens — milieu et fin de semestre.

4 QCM de 10 minutes — en début de TD, séances 5, 9, 13 et 15.

Les TD Sur papier, sauf les deux dernières séances, en R.